OPERACIONES CON EL NÚMERO CERO

 OPERACIONES CON EL NÚMERO CERO

¿Qué es el 0?

El cero (0) es un número entero que simboliza el valor nulo, por lo que en notación posicional ocupa los lugares donde no hay una cifra significativa. Como sabes, si se coloca a la derecha de un número entero, multiplica por 10 su valor (por ejemplo: 1 / 10).

Si lo usamos como número, con él podemos realizar operaciones algebraicas como sumas, restas, multiplicaciones, entre otras. Sin embargo, al ser la expresión del valor nulo (nada, nadie, ninguno...), podemos encontrarnos con expresiones indeterminadas o que carecen de sentido, como veremos más adelante.

Las operaciones con el cero

Tras su nacimiento en la India, el cero siguió creciendo como concepto. En el siglo IX, Mahavira estudia las posibles operaciones con el cero:

• Indica que la multiplicación de un número por cero es cero.
• Pero se equivoca en la fracción, al asegurar que si un número se divide por cero permanece invariable.

Operaciones con el número cero

Cero en la suma

Como sabes, en la suma el cero es el elemento neutro. Por tanto, un número x sumado con 0 vuelve a dar x. Ejemplo: 7 + 0 = 7

Cero en la resta

Igualmente, en la resta, el cero es el elemento neutro. Así, un número x restado con 0 vuelve a dar x, excepto cuando el cero es el minuendo, en cuyo caso resulta -x.

Ejemplos: 7 – 0 = 7 / 0 - 7 = -7

Cero en la multiplicación

En la multiplicación, el cero es el elemento absorbente. Es decir, un número multiplicado por 0 da 0. Ejemplo: 7 × 0 = 0

Cero en la división

El cero puede ser dividido por otros números, en cuyo caso es el elemento absorbente (ejemplo: 0:7 = 0). Pero el cero no puede dividir a ningún número.

En los números reales, la división entre cero es una indeterminación, por lo que las expresiones 8/0 o 0/0 carecen de sentido. ¿Por qué? Pues no tiene sentido, por ejemplo, «repartir» 8 caramelos entre niños de un aula vacía, igual que tampoco tiene sentido repartir 0 billetes entre cero personas: nada entre nadie.

Por tanto, matemáticamente, el cero es el único número real por el cual no se puede dividir. Por eso el 0 es el único número real que no tiene inverso multiplicativo. Ejemplo:

• x/2 = x * 1/2 (correcto).
• x/0 = x * 1/0 (incorrecto porque 1/0 no es un número real).

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OPERACIONES COMBINADAS

 OPERACIONES COMBINADAS 

¿Qué son las operaciones combinadas?

Son aquellas en las que aparecen varias operaciones aritméticas para resolver: sumar, restar, multiplicar y dividir.

¿Cómo se resuelven las operaciones combinadas?

Para resolver las operaciones combinadas correctamente hay que seguir los siguientes pasos. Es fundamental tener en cuenta el orden en que se deben realizar las operaciones.

Realizar las operaciones que estén dentro de los paréntesis.

En nuestro ejemplo, tenemos dentro del paréntesis una operación de suma que debemos de resolver en primer lugar.

Realizar las multiplicaciones y divisiones que aparezcan.

Siguiendo con nuestro ejemplo, ahora tenemos que realizar la operación de multiplicar:

Realizar las sumas y las restas que aparezcan.

Tan solo nos queda una resta para resolver la operación. Y el resultado es 38.

Ejemplos de operaciones combinadas

Vamos a ver otro ejemplo:

En este caso no tenemos paréntesis, por lo tanto vamos al paso 2 para operaciones combinadas: realizar las multiplicaciones y divisiones. Tenemos una multiplicación y una división:

Ahora solo nos queda una suma:

Y el resultado de la operación es 17:

Te propongo ahora un reto. ¿Eres capaz de resolver este ejercicio?

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OPERACIONES CON NÚMEROS MIXTOS

 OPERACIONES CON NÚMEROS MIXTOS

Sumando números mixtos

Para sumar los números mixtos, primero convierta cada número mixto en una fracción impropia . Luego sume las fracciones impropias y escriba la respuesta en su forma más simple .

Ejemplo:   

Nota: Puede usar otro método para sumar los números mixtos. Primero, sume las partes de número entero y luego sume las partes de fracción por separado. Entonces escriba la respuesta en su forma más simple. Por ejemplo:

Restando números mixtos

Para restar los números mixtos, primero reescriba cada número mixto como una fracción impropia. Luego reste las fracciones impropias y escriba la respuesta en su forma más simple.

Ejemplo:

Multiplicando números mixtos

Para multiplicar los números mixtos, primero reescriba cada número mixto como una fracción impropia. Luego multiplique las fracciones impropias y escriba el resultado en su forma más simple.

Ejemplo:

Dividiendo números mixtos

Para dividir los números mixtos, primero reescriba cada número mixto como una fracción impropia. Luego para dividir las fracciones impropias, multiplique la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda fracción.

Ejemplo:

El inverso multiplicativo de es  .

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OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Suma y diferencia de números complejos

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.

Ejemplo

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que .

Ejemplo

División de números complejos

El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

Ejemplo

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OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

 OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

Suma o resta de números decimales

Para sumar o restar dos o más números decimales, debes ordenarlos en columnas haciendo coincidir las comas. Después se suman o restan como si fuesen números naturales (de derecha a izquierda) y se pone la coma en el resultado, bajo la columna de las comas.

Ejemplo:

Si los números no tienen la misma cantidad de cifras decimales, puedes añadir a la derecha los ceros necesarios, para que tengan la misma cantidad de cifras decimales. Luego, se suma o resta como lo mostramos en el ejemplo anterior.

Veamos un ejemplo de resta e incluyamos los ceros que corresponda:

Multiplicación de números decimales

Para multiplicar números decimales, se multiplican como si fueran números naturales y, en el producto, se separan con una coma, contando desde la derecha, tantas cifras decimales como tengan en total los dos factores.

Resolvamos las siguientes situaciones:

1°- Multiplicación de un decimal por un número natural:

Para multiplicar un número decimal por un número natural debes multiplicar prescindiendo de la coma y luego en el resultado o producto se le agrega la coma comenzando a contar desde la derecha tantas cifras como decimales había:

2°- Multiplicación de un número decimal por otro número decimal

Para multiplicar un número decimal por otro numero decimal, debes multiplicar prescindiendo de la coma y luego en el resultado o producto se pondrá la coma, comenzando a contar por la derecha, tantas cifras decimales como había en los dos números juntos:

División de números decimales

Existen varias combinaciones de división de números decimales. Podemos dividir un número decimal por un número entero, o bien, dividir dos números decimales. En el primer caso, deberás realizar la división como si fueran dos números enteros y colocaremos la coma en el cociente cuando bajemos la primera cifra decimal. Si dividendo y divisor son decimales, multiplicaremos ambos números por la unidad seguida de tantos ceros necesarios como para hacer desaparecer la coma. A continuación, dividiremos como si fueran números enteros.

Ejemplo de división de números decimales por números enteros:

Ejemplo de división de números decimales por decimales:

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OPERACIONES CON RADICALES

OPERACIONES CON RADICALES

Suma y Resta de Radicales

Para sumar o restar radicales se necesita que sean semejantes (que tengan el mismo índice y el mismo radicando), cuando esto ocurre se suman ó restan los coeficientes de fuera y se deja el radical.

Producto de Radicales

Para multiplicar radicales se necesita que tengan el mismo índice, cuando esto ocurre el resultado es un radical del mismo índice y de radicando el producto de los radicandos. Si tienen distinto índice, primero se reduce a índice común.

Cociente de Radicales

Para dividir radicales se necesita que tengan el mismo índice, cuando esto ocurre el resultado es un radical del mismo índice y de radicando el cociente de los radicandos. Si tienen distinto índice, primero se reduce a índice común.

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POTENCIAS Y RADICALES

 POTENCIAS Y RADICALES 

Radicales

Llamamos raíz n-ésima de un número dado a al número b que elevado a n nos da a.

Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario en la que el denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente el radicando.

Ejemplo:

Radicales equivalentes 

Dos o más radicales se dicen equivalentes si las fracciones de los exponentes de las potencias asociadas son equivalentes.

Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales semejantes, multiplicando o dividiendo el exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número. Si se multiplica se llama amplificar y si se divide se llama simplificar el radical.

Radical irreducible, cuando la fracción de la potencia asociada es irreducible.

Introducción y Extracción de factores

Para introducir un factor dentro de un radical se eleva el factor a la potencia que indica el índice y se escribe dentro. 

Si algún factor del radicando tiene por exponente un número mayor que el índice, se puede extraer fuera del radical dividiendo el exponente del radicando entre el índice. El cociente es el exponente del factor que sale fuera y el resto es el exponente del factor que queda dentro.

Cálculo de raíces

Para calcular la raíz n-ésima de un número primero se factoriza y se escribe el número como producto de potencias, luego se extraen todos los factores.
Si todos los exponentes del radicando son múltiplos del índice, la raíz es exacta.

Reducción a índice común

Reducir a índice común dos o más radicales es encontrar radicales equivalentes a los dados que tengan el mismo índice.

El índice común es cualquier múltiplo del m.c.m. de los índices.

El mínimo índice común es el m.c.m. de los índices.

Radicales semejantes

Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Pueden diferir únicamente en el coeficiente que los multiplica.

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