PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES 

Propiedades de cerradura para la suma y el producto de los números naturales 

1. La suma de dos números naturales cualesquiera da como resultado un natural.

2. El producto de dos números naturales cualesquiera da como resultado un natural. 

Otras propiedades son la conmutatividad, la asociatividad y la distributiva.

Si consideramos que las letras a, b y c , representan a cualquier número natural, tenemos las siguientes propiedades escritas en forma verbal y en forma simbólica.

Propiedades conmutativas 

3. El orden de los sumandos no altera la suma de números naturales. 

a + b = b + a 

4. El orden de los factores no altera el producto de números naturales.

a * b = b * a 

Propiedades asociativas 

5. Para sumar tres o más números naturales no importa el orden. 

a + b + c = a + b + c 

6. Para realizar el producto de tres o más números naturales no importa el orden. 

a * b * c = a * b * c

Propiedad distributiva 

7. El producto de un número natural con la suma de dos naturales es igual a la suma de los productos. 

a * b + c = a * b + a * c

Construyendo una fórmula para sumar los primeros números naturales 

Como primer reto vamos a tratar de obtener alguna regla o fórmula que permita sumar los n primeros números naturales, es decir S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 +...+ (n - 1) + n 

Para lograrlo consideremos casos particulares.

                                1 + 2 =

                                          1 + 2 + 3 =

                                          1 + 2 + 3 + 4 =

                                          1 + 2 + 3 + 4 + 5 =

                                          1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =

                                          1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7= 

                                          1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8=

                                          :

                                          1 + 2 + 3 +...+ 88 + 89 + 90 =

                                          1 + 2 + 3 +...+ (n - 2) + (n - 1) + n = S

¿Las sumas anteriores dan el mismo resultado, respectivamente que las siguientes?

                                          2 + 1 =

                                          3 + 2 + 1 = 

                                          4 + 3 + 2 + 1 = 

                                          5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 

                                          6 +  5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 

                                          7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 

                                          8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 

                                         : 

                                        90 + 89 + 88 +...+ 3 + 2 + 1 = 

                                         n + (n - 1) + (n - 2) +...+ 3 + 2 + 1 = S

Al construir una fórmula para la última suma, en donde n es un número natural tan grande como quieras imaginar.

 Se debe de tener en cuenta que el orden de la suma no altera el resultado.

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