¿Qué son los números reales? Se trata del conjunto de números que incluyen los naturales, los enteros, los racionales y los irracionales. A lo largo de este artículo veremos en qué consiste cada uno de ellos. Por otro lado, los números reales se representan mediante la letra “R”.
Este el conjunto más importante de números para el desarrollo de la Aritmética, el Algebra, la Geometría plana, Analítica y el Calculo Diferencial e Integral.
Los números reales abarcan a todos los demás y en la figura se ilustra esta afirmación.
Clasificación de los números reales
Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Números Naturales
Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de pequeños. Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo contrario (cero neutral).
Expresión:
Pista → Nos podemos acordar de los números naturales pensando en que son los números que usamos “naturalmente” para contar. Cuando contamos con la mano obviamos el cero, lo mismo para los números naturales. Primeros elementos del conjunto de números naturales.
Números Enteros
Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos los números negativos.
Expresión:
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números enteros.
Pista: → Nos podemos acordar de los números enteros pensando en que son todos los números que usamos naturalmente para contar junto con sus opuestos e incluyendo el cero (0). A diferencia de los racionales, los números enteros representan “enteramente” su valor.
Números Racionales
Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los números enteros y naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de números enteros.
Expresión:
Pista → Nos podemos acordar de los números racionales pensando en que siendo fracciones de números enteros, es “racional” que el resultado sea un número entero o un número decimal finito o semiperiódico.
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números racionales.
Número Irracional
Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta ni de manera periódica.
Expresión:
Pista → Nos podemos acordar de los números irracionales pensando en que son todos los números que no encajan en las clasificaciones anteriores y que también pertenecen a la recta real.
Ejemplo de algunos elementos del conjunto de números irracionales.
Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:
Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado.
por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.
Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).
Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula.
por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.
La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta.
Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.
Números irracionales famosos
Como se mencionaba anteriormente, existen números irracionales determinados que son utilizados en diferentes ramas, para operaciones específicas, algunos de ellos son:
Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π, este es el más conocido de los números irracionales, y se utiliza en su mayoría para matemáticas, física e ingeniería. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es 3.141592653589…
e es otro número irracional famoso, utilizado en cálculo más que nada, es llamado también número de Euler, y de él también se han calculado infinidad de decimales sin llegar a encontrar una repetición periódica. Sus primeros decimales son 2,718281828459…
El número áureo o razón de oro, representado con la letra griega ϕ o phi también es muy utilizado por muchos artistas, en especial se lo conoce por las proporciones corporales usadas por Leonardo da Vinci, cuya aproximación es 1,618033988749…
Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.
Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número
El ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.
Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible.
Notación de los números irracionales
La representación gráfica de los números irracionales se la hace con la letras mayúsculas así: R−Q
Se la utiliza de esta manera para diferenciarla de los números imaginarios, cuya representación es la i minúscula.
Clasificación de los números irracionales
Dentro de la recta real numérica existen varios conjuntos de números, pero dentro de los números irracionales hay más tipos para clasificar, estos son:
Número algebraico. Se les llama así a los números irracionales que surgen de resolver alguna ecuación algebraica y se escribe con un número finito de radicales libres o anidados. En general, las raíces no exactas de cualquier orden se encuentran dentro de este conjunto, es decir las raíces cuadradas, cúbicas, etc.
Número trascendente. Este es un número irracional que no puede ser representado a través de un número finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de operaciones llamadas funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometría, logaritmos, exponenciales, etcétera. Aunque también pueden surgir de la simple acción de escribir números decimales al azar sin periodicidad y sin un patrón determinado, podemos decir que son decimales infinitos.
Ejemplos de números irracionales
En primer lugar vamos a anotar los ya mencionados números irracionales algebraicos con ejemplos, ya habíamos hablado de √2 o raíz cuadrada de dos que resulta de una ecuación algebraica, pero también tenemos otros ejemplos que podrían resultar son:
Por otro lado, se tienen los números irracionales trascendentes, que no pueden representarse mediante radicales, sino que deben ser representados con decimales infinitos no periódicos, y con tres puntos suspensivos para denotar que son infinitos, de lo contrario estaríamos escribiendo números durante toda la eternidad, así:
Definiremos la suma entre estos dos números racionales de la siguiente forma:
De forma particular, si dos números racionales comparten el mismo denominador, será posible (a través de una serie de equivalencias) sumar sus numeradores y mantener el mismo denominador para la suma, es decir,
Ejemplo:
Resta
La resta se puede definir de la misma forma que la suma usando expresiones equivalentes. Simplemente debemos tomar en cuenta la ley de los signos al multiplicar números enteros, es decir,
Ejemplo:
Producto
Definiremos el producto entre estos dos números racionales, multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador, de la siguiente forma:
Ejemplo:
División
Definimos la división entre estos dos números racionales, reescribiendo esta división nuevamente como una fracción, y es como sigue:
Los números racionales son todos los números que pueden representarse como el cociente de dos números o, más exactamente, un entero y un natural positivo; es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo.
Este conjunto de números incluye a los números enteros (Z) y a los números fraccionarios y es un subconjunto de los números reales (R).
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien semiperiódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal); también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera) es un número racional.
Existen tres formas para representar a los números racionales, la primera es por medio
de cociente o división, la segunda es en forma decimal periódica y en forma de
porcentajes (%).
1.- Todo número racional se puede escribir en forma de cociente o división de
números enteros con el denominador diferente de cero, es decir
2.- Todo número racional se puede escribir en forma decimal periódica
(expansión decimal periódica), don de el periodo es la secuencia de dígitos que
se repiten en un momento dado después del punto decimal.
Algunos números periódicos son:
3.- todo número racional se puede escribir en forma de porcentaje.
Hay que tomar en cuenta que la unidad equivale al 100%, es decir 1 = 100%. De
manera que:
Conversiones de una forma a otra para los números racionales
Como se acaba de señalar los números racionales se escriben de tres formas y por
consecuencia es posible pasar de una a la otra como se ilustra en los siguientes
ejemplos.
De la forma de cociente o división a la decimal periódica
Escribir los números en racionales en forma decimal periódica
Para obtener la forma decimal periódica solo habrá que realizar la división, hasta
encontrar el periodo
De la forma decimal periódica a cociente o división
Escribir los siguientes números en forma de cociente o división de enteros.
3.20
Para convertir estos números debemos recorrer el punto decimal las cifras necesarias
para que aparezca “empatado” el periodo, como se ilustra a continuación.
Le asignamos al número
3.20
una letra, por ejemplo
x = 3.20
Cuando el periodo es cero (0), basta que multipliquemos por 10 para recorrer el punto
decimal a donde inicia el periodo y despejamos directamente a
x
De la forma decimal periódica a porcentajes
Esta conversión es la más directa, ya que solo hay que multiplicar por 100 el número
dado en forma decimal.
-Si los números a sumar tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y al resultado se le coloca el signo que tengan los sumandos. Aquí hay algunos ejemplos:
a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17
b) (-12) + (- 10) = – (12+10) = -22
-En caso de que los números sean de distinto signo, se restan los valores absolutos (el mayor del menor) y al resultado se le coloca el signo del número con mayor valor absoluto, de la siguiente forma:
a) (-8) + (21) = 21 – 8 = 13
b) (-9) + (+4) = -(9-4) = -5
Propiedades de la suma de los números enteros
-La suma es conmutativa, por lo tanto el orden de los sumandos no altera la suma. Sean a y b dos números enteros, se cumple que a+b = b+a
-El 0 es el elemento neutro de la suma de números enteros: a + 0 = a
-Cualquier número entero sumado con su opuesto es 0. El opuesto de + a es –a, y a la inversa, el opuesto de –a es +a. Por lo tanto: (+a)+ (-a) = 0.
Resta
Para restar números enteros hay que guiarse por esta regla: la resta equivale a la suma de un número con su opuesto. Sean dos números a y b, entonces:
a – b = a + (-b)
Por ejemplo, supongamos que se necesita hacer la siguiente operación: (-3) – (+7), entonces:
(-3) – (+7) = (-3) + (-7) = – (3+7) = -10
Multiplicación
La multiplicación de números enteros sigue ciertas reglas para los signos:
-El producto de dos números con igual signo siempre es positivo.
-Cuando se multiplican dos números de signos distintos, el resultado siempre es negativo.
-El valor del producto es igual a multiplicar los respectivos valores absolutos.
Inmediatamente algunos ejemplos que aclaran lo antes dicho:
(-5) x (+8) = – 5 x 8 = -40
(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120
(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128
Propiedades de la multiplicación de los números enteros
-La multiplicación es conmutativa. Sean dos números enteros a y b, se cumple que: a * b = b * a, lo que igualmente se puede expresar como:
El orden de los factores no altera el producto.
-El elemento neutro de la multiplicación es el 1. Sea a un número entero, por lo tanto a * 1 = 1
-Cualquier entero multiplicado por 0 es igual a 0: a * 0 = 0
La propiedad distributiva
La multiplicación cumple con la propiedad distributiva respecto de la suma. Si a, b y c son números enteros entonces:
a * (b +c) = a * b + a * c
Seguidamente un ejemplo de cómo aplicar esta propiedad:
Los números enteros son el conjunto formado por los números enteros positivos, el cero y los números enteros negativos, es decir, Los números enteros constituyen un conjunto de números útiles para contar los objetos completos que se tienen y los que no se tienen. También para contar los que están a un lado y al otro de cierto lugar de referencia.
Al restar dos números naturales el resultado no siempre da un natural, esto quiere decir
que la operación resta no cumple con la propiedad de cerradura, por ello es necesario
utilizar “nuevos” números que vienen a complementar los naturales para que se
satisfaga la cerradura en la resta, así como en la suma y el producto.
Dichos números se conocen como los Enteros, y son:
Por eso el conjunto de los números enteros incluye a los siguientes:
Enteros positivos, que se escriben precedidos de un signo +, o simplemente sin el signo, ya que igualmente se entiende que son positivos. Por ejemplo: +1, +2, +3… y así sucesivamente.
El 0, en el cual el signo es irrelevante, pues da lo mismo sumarlo que restarlo de alguna cantidad. Pero el 0 es muy importante, ya que es la referencia para los enteros: a un lado se ubican los positivos y al otro los negativos.
Enteros negativos, que siempre se deben escribir precedidos del signo -, ya que con ellos se distinguen las cantidades como las deudas y todas las que están al otro lado de la referencia. Ejemplos de enteros negativos son: -1, -2, -3… y de allí en adelante.
Regla de los signos Producto: + x + = +; + x - = -; - x + = -; - x - = -
1) Símbolos de agrupación: paréntesis, corchetes, llaves, etc.
2) Potencias y exponentes.
3) Producto y división
4) Suma y resta
En caso de que aparezcan dos operaciones de igual jerarquía en forma seguida, se
procede de izquierda a derecha.
Propiedades
-El conjunto de los números enteros se denota como Z e incluye al conjunto de los números naturales N, siendo infinitos sus elementos.
-Un número entero y el que le sigue (o el que le precede) se diferencian siempre en la unidad. Por ejemplo, después del 5 viene el 6, siendo 1 la diferencia entre ellos.
-Todo número entero tiene un predecesor y un sucesor.
-Cualquier número entero positivo es mayor que el 0.
-Un número entero negativo siempre es menor que el 0 y que cualquier número positivo. Tomemos por ejemplo el número -100, este es menor que 2, que 10 y que 50. Pero también es menor que -10, -20 y -99 y es mayor que -200.
-El 0 no tiene consideraciones de signo, ya que no es negativo ni positivo.
-Con los números enteros se pueden llevar a cabo las mismas operaciones que se realizan con los números naturales: suma, resta, multiplicación, potenciación y más.
-El entero opuesto a cierto entero x, es –x y la suma de un entero con su opuesto es 0:
Propiedades de cerradura para la suma y el producto de los números naturales
1. La suma de dos números naturales cualesquiera da como resultado un natural.
2. El producto de dos números naturales cualesquiera da como resultado un
natural.
Otras propiedades son la conmutatividad, la asociatividad y la distributiva.
Si consideramos que las letras
a, b y c ,
representan a cualquier número natural,
tenemos las siguientes propiedades escritas en forma verbal y en forma simbólica.
Propiedades conmutativas
3. El orden de los sumandos no altera la suma de números naturales.
a + b = b + a
4. El orden de los factores no altera el producto de números naturales.
a * b = b * a
Propiedades asociativas
5. Para sumar tres o más números naturales no importa el orden.
a + b + c = a + b + c
6. Para realizar el producto de tres o más números naturales no importa el orden.
a * b * c = a * b * c
Propiedad distributiva
7. El producto de un número natural con la suma de dos naturales es igual a la
suma de los productos.
a * b + c = a * b + a * c
Construyendo una fórmula para sumar los primeros números
naturales
Como primer reto vamos a tratar de obtener alguna regla o fórmula que permita sumar
los n primeros números naturales, es decir
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 +...+ (n - 1) + n
Para lograrlo consideremos casos particulares.
1 + 2 =
1 + 2 + 3 =
1 + 2 + 3 + 4 =
1 + 2 + 3 + 4 + 5 =
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7=
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8=
:
1 + 2 + 3 +...+ 88 + 89 + 90 =
1 + 2 + 3 +...+ (n - 2) + (n - 1) + n = S
¿Las sumas anteriores dan el mismo resultado, respectivamente que las siguientes?
2 + 1 =
3 + 2 + 1 =
4 + 3 + 2 + 1 =
5 + 4 + 3 + 2 + 1 =
6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 =
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 =
8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 =
:
90 + 89 + 88 +...+ 3 + 2 + 1 =
n + (n - 1) + (n - 2) +...+ 3 + 2 + 1 = S
Al construir una fórmula para la última suma, en donde
n
es un número natural
tan grande como quieras imaginar.
Se debe de tener en cuenta que el orden de la suma no altera el resultado.
El hombre en el momento que descubre la agricultura deja de ser nómada y se
empieza a establecer en regiones de la tierra por periodos de tiempo relativamente
largos, ello lo obliga de alguna manera a desarrollar su capacidad de abstracción, es
decir en pensar en como poder contar principalmente lo que cosecha o le pertenece,
como los granos, animales domésticos, etc.
Se dice que los números naturales
surgen en esas épocas y cada cultura los representa de muy variadas formas usando
símbolos, en la actualidad se utilizan los símbolos que los árabes aportaron, de modo
que se pueden escribir de la siguiente manera:
N = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,...
Se puede observar que el cero no aparece como número natural, se aclara que esto no
significa que no existiera desde estos tiempos solo que la cultura dominante durante
muchos siglos después de cristo fue la occidental y en ella el cero no se consideraba
como natural, es la razón por la que no aparece en muchos textos.
Con estos números se pueden efectuar las operaciones básicas como la suma, el
producto, la resta y la división.
Las primeras propiedades que los naturales tienen con respecto a las operaciones
son las de cerradura y se cumplen para la suma y el producto, no así para la resta y la
división.
La historia de los números es una historia muy antigua. No se sabe con certeza cuánto tiempo hace que los humanos comenzaron a usarlos pero lo que sí podemos asegurar es que desde el principio el hombre necesitó palabras para expresar cantidades. Contar cuántas personas había en una cueva, expresar a qué distancia estaba el río o tomar alguna medida, había la misma necesidad de comunicarse usando números que la que existe hoy en día.
Puede decirse que la idea de número aparece desde que el hombre tiene necesidad de contar, es decir, relacionar los objetos que le pertenecen con este concepto en su mente, por ello utiliza símbolos diversos para representarlos y así facilitar su manejo y comprensión.
Estudios sobre el origen de los números nos indican que, a lo largo de la historia, el ser humano se las ha ingeniado para crear sistemas numéricos más o menos efectivos para poder progresar.
¿Qué son los números?
Un número es todo signo o símbolo utilizado para designar cantidades, valores o entidades. Es la expresión de la relación existente entre la cantidad y la unidad. Matemáticamente, el término representa cantidades métricas o elementos de un sistema numérico, sin embargo, también puede llegar a representar un número ordinal que, a su vez, representa la posición que determina el orden de una serie específica.
